UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán
Ngày thi: 21 - 4 - 2016
Thời gian làm bài: 120 phút


Bài 1: (4,5 điểm)
Cho biểu thức:
với x ≠-1; x≠-2.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A >1.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A.B với B =

Bài 2: (4 điểm)
Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn abc = 1
và

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ.
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng

Bài 3: (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 4x – 1 = 0
b) Giải phương trình sau: ( x2 + x + 1)2 = 3.(x4 + x2 + 1)
Bài 4: (6,5 điểm)
Cho (ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Kẻ đường cao AH, (H(BC), kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC, (M(AB, N(AC).
a) Tính độ dài cạnh MN.
b) Chứng minh rằng AM. AB = AN. AC.
c) Tính diện tích tứ giác AMHN.
d) Trên tia HC lấy diểm D sao cho HA = HD, từ D kẻ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Lấy I là trung điểm của BE. Gọi P là giao điểm của HI với AD. Tính tỉ số
.
Bài 5: (2 điểm) Cho abc ≠ ± 1, abc ≠ 0, thỏa mãn:
.



Chứng minh rằng: a = b = c.





HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 8 (2015 – 2016)
Bài
Nội dung
Biểu điểm

Bài 1
(4,5 điểm)
a)
với x ≠ -1; x ≠ -2.
=

=

1,5(điểm)



b) với x ≠ - 1; x ≠ - 2.
A > 1
(*).
Do x2 - x + 1 > 0 với mọi x nên (*) ( - x2 + x > 0
... ( 0 < x < 1. Kết luận.
1,5(điểm)



c) với x ≠ - 1; x ≠ - 2. Ta có: P = A.B =

Đặt t = x + 1 ( x = t - 1.
Khi đó P =
( GTLN của P = 1/4
( t = 2 ( x = 1 (t/m).
1,5(điểm)

Bài 2
(4 điểm)
Ta có:












hoặc
hoặc

Vậy ít nhất một trong ba số a, b, c phải là bình phương của một số hữu tỉ.
2(điểm)


b) Do a, b > 0 và
nên:

=
=

Đẳng thức xảy ra
b = 1
Chứng minh tương tự ta cũng có:



;


. Đẳng thức xảy ra
c = 1; b = 1.



Hay
(1)
Mặt khác, do a + b + c = 3
(a + b + c)2 = 9


(2)
Mà
=
(3)
Đẳng thức xảy ra
a = b = c
Từ (2)và (3)
9

3
(4)
Từ (1) và (4)




Dấu = sảy ra
a = b = c = 1
2(điểm)

Bài 3
(3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 4x - 1= 0
Ta có: 2x2 + y2 + 4x – 1 = 0 ( 2.(x + 1)2 = 3 - y2 (*)
Vì: 2.(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x, và 2.(x + 1)2 là số chẵn với x nguyên nên từ (*) ta có. Nếu PT (*) có nghiệm thì 3- y2 ≥ 0 và chẵn ( y2 lẻ mà y nguyên
( y = ± 1 Khi đó x = 0 ; x = - 2.
Vậy tìm được 4 cặp số nguyên (x